Die ConnectionString-Eigenschaft wurde in VB.NET nicht initialisiert

Sie haben Ihre Verbindungszeichenfolge nie dem Verbindungsobjekt zugewiesen, genau wie der Fehler sagt.

Fügen Sie vor con.open.

eine Zeile ein, die die Verbindungszeichenfolge festlegt

Con.connectionstring = connection
Con.Open()

Oder noch besser, ändern Sie Ihre using-Anweisung wie folgt

Dim Connection As String = "Data Source=.\SQLEXPRESS;AttachDbFilename=G:\VB Project\Library Catalog System\Library Catalog System\library.mdf;Integrated
Security=True;Connect Timeout=30;User Instance=True"

Using Con As New SqlConnection(connection)