Eigentlich ganz einfach:
SELECT *
FROM `table`
WHERE `column` LIKE '%{$needle}%'
Der %
ist ein Platzhalter für einen beliebigen Zeichensatz (keine, eine oder viele). Beachten Sie, dass dies bei sehr großen Datensätzen langsam werden kann. Wenn Ihre Datenbank also wächst, müssen Sie Volltextindizes verwenden.