mysql, wie man feststellt, ob mindestens eine Zeile aus der Querverweistabelle null oder Kriterien ist

Das klingt nach einem klassischen Anwendungsfall für EXISTS Betreiber:

SELECT *
FROM   mytable a
WHERE  EXISTS (SELECT 1
               FROM   mytable b
               WHERE  a.foreignkey = b.foreignkey 
               AND    trainer IS NOT NULL 
               AND    trainer <> 'FREE'

BEARBEITEN:
Wenn Sie nur den unterschiedlichen foreignkey wollen s:

SELECT DISTINCT foreignkey
FROM   mytable a
WHERE  EXISTS (SELECT 1
               FROM   mytable b
               WHERE  a.foreignkey = b.foreignkey 
               AND    trainer IS NOT NULL 
               AND    trainer <> 'FREE'