Wie vergleiche ich den genauen Ausdruck mit der dynamischen Zeichenfolge im Textindex Mongodb?

Ihre Abfrage ist falsch. Sie müssen die Abfrage ändern

db.words.find({ "$text": { "$search": `"\"${text}\"` } })

zu

db.words.find({ "$text": { "$search": `\"${text}\"` } })

Da gibt es ein zusätzliches doppeltes Anführungszeichen (" ) am Anfang nach dem ersten Backquote. Dadurch wird Ihre Abfrage behoben.

Einfache Darstellung:

console.log("\"cake sale\"");

var text = "cake sale";
console.log(`\"${text}\"`);
// both the console.log gives same result