Tut mir leid, ich habe mich gelöst.
Das Problem ist die Reihenfolge, in der Schemas deklariert werden.
Es hat funktioniert, wenn ich diese Änderung ausprobiert habe.
/* first, children's schema */
var ChildSchema = new Schema({
name: String,
}, {_id: false});
/* seconds, parent's schema */
var UserSchema = new Schema({
name: String,
children: [ChildSchema],
});