Wie poste ich Daten mit Mean Stack in die Mongo-Sammlung?

Angular-Error-Stack-Trace ist sehr klar.
Sie verarbeiten diesen spezifischen Endpunkt für Ihre POST-Abfrage nicht in Ihrem Express-Router.

Der Server gibt also einen 404-Fehler aus , so wie es sollte.

Probieren Sie so etwas aus:

router
    .post('/api/users', function (req, res) {
       // do what you want with your user here
    })

Bei Express (und NodeJS) müssen Sie jeden Zugriff auf Serverressourcen explizit spezifizieren.

Nebenbei bemerkt, Sie sind dem ziemlich nahe, aber versuchen Sie, Ihre Anwendungslogik für die Wartbarkeit einfach zu halten.