"Wiederholt auf meinen Kopf schlagen und sagen:'Was habe ich mir dabei gedacht?'".
Ich habe eine neue Verbindung erstellt und diese verwendet, um eine Verbindung zum Server herzustellen. Die eigentliche Backup-Anweisung verwendet jedoch $server (Servername) anstelle des $smo-Serverobjekts mit der hergestellten Verbindung. Folglich baut die Sicherungsanweisung tatsächlich eine völlig neue Verbindung ohne das Verbindungsattribut auf, um das standardmäßige Zeitlimit für die Anweisung zurückzusetzen.
Ändern der Backup-Anweisung in
$dbbk.SqlBackupAsync($smo)
behebt das Problem.