Ich selbst habe die Antwort erhalten, nachdem ich versucht habe, das SQL Server Management Studio manuell zu verbinden.
Dort nimmt es den Servernamen als localhost an. Der Instanzname muss nicht erwähnt werden, es wird eine Verbindung zur Standardinstanz hergestellt.
Das hat funktioniert:
Invoke-Sqlcmd -InputFile 'D:\SQL Scripts\test.sql' -ServerInstance 'localhost' -Database 'Test'
