Sie sollten es wie dieses Array behandeln,
<input name="checkbox[]" type="checkbox" value="<?php echo $row['link_id']; ?>">
Nur dann können Sie seine Zählung nehmen und zum Löschen in eine Schleife schleifen.
Sie müssen auch die Datenbankverbindung an die Abfrage übergeben.
$result = mysqli_query($dbc, $sql);
Bei Ihnen war es nicht enthalten:
$result = mysqli_query($sql);
