Von einer Chrome-Erweiterung aus eine Verbindung zu DB herstellen?

Sie müssen eine zwischengeschaltete Webanwendung erstellen, die eine Schnittstelle mit der Datenbank herstellt. Dann können Sie AJAX-Aufrufe von der Erweiterung an die API Ihrer Web-App ausführen, die wiederum die Datenbank abfragt und Ergebnisse zurückgibt.

Chrome-Erweiterung → Web-App-API → MySQL