Wie aktualisiere ich die Datenbank, während ich das Kontrollkästchen mit jquery ankreuze?

Du hast es fast. Sie müssen nur den Status Ihres Kontrollkästchens lesen und ihn mit Ihrer POST-Anfrage zurücksenden.

$(function(){
    $("#myonoffswitch").click(function(){
        var isOn = $("#myonoffswitch").prop("checked");
        $.post("notification.php", { 'onoffswitch': isOn }, function (result) {
            //handle success here
        });
    });