Ich kann nicht herausfinden, wie ich meine letzte Anmeldezeit aktualisieren kann

In Ihrer Abfrage hier:

UPDATE users_table SET 'date_last_inlog' = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Versuchen Sie, die Anführungszeichen um date_last_inlog zu entfernen oder sie in Backticks umwandeln:

UPDATE users_table SET date_last_inlog = NOW() WHERE user_name  = '$user_name'

Verwenden Sie auch nicht mysql_* verwenden Sie mysqli oder PDO stattdessen. Ihr Code ist anfällig für SQL Injection.