Wenn ich Sie richtig verstehe, dann werden die ausgewählten Werte in der durch Kommas getrennten Zeichenfolge gespeichert und die Zahlen sind die Werte, an denen zuvor ausgewählt wurde.
In diesem Fall ist die Antwort einfach:
<select name="w_owning_branches[]" size="10" id="w_owning_branches" multiple="multiple" required>
<option value="" class="dropdown-option"> Select Owning Branch </option>
<?php do {
$value = $row_branches['branch_id'];
$name = $row_branches['name'];
$selected = '1,2,3,4,5,6';
echo "<option value='$value'".(in_array($value, explode(",",$selected)) ? " selected='selected'":"").">$name</option>";
} while ($row_branches = mysql_fetch_assoc($branches)); ?>
</select>
