Dies ist ein Lücken- und Inselproblem. Sie können es mit Fensterfunktionen lösen (nur in MySQL 8.0 verfügbar):
select
person,
min(act_date) start_date,
max(act_date) end_date
from (
select
t.*,
sum(act_date <> lag_act_date + interval 15 minute)
over(partition by person order by act_date) grp
from (
select
t.*,
lag(act_date)
over(partition by person order by act_date) lag_act_date
from mytable t
) t
) t
group by person, grp
order by min(act_date)
Die Idee ist, Gruppen benachbarter Datensätze mit einer kumulativen Summe zu bilden:Jedes Mal, wenn es eine Lücke gibt, die nicht 15 Minuten beträgt, erhöht sich die Summe.