Einfaches Ajax Jquery-Skript - Wie kann ich Informationen für jede Zeile in der Tabelle erhalten?

Die alte MySQL-Erweiterung mysql veraltet ist, verwenden Sie besser mysqli oder PDO !

mysql_fetch_row() gibt nur 1 Zeile zurück! Sie müssen es in eine Schleife stecken, zum Beispiel:

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

Sie müssen auch das JavaScript ändern:

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

Übrigens würde ich Ihnen empfehlen, mysql_fetch_assoc() zu verwenden weil es Ihren Code flexibler und sauberer macht.