Sie müssen dies in zwei Schritten tun:
UPDATE MyTable
SET `Order` = `Order` + 1
WHERE `Order` > (SELECT `Order`
FROM MyTable
WHERE ID = <insert-after-id>);
... wodurch die Auftragsnummer jeder Zeile weiter nach unten in der Liste verschoben wird als die Person, nach der Sie einfügen.
Dann:
INSERT INTO MyTable (Name, `Order`)
VALUES (Name, (SELECT `Order` + 1 FROM MyTable WHERE ID = <insert-after-id>));
Um die neue Zeile einzufügen (unter der Annahme, dass die ID automatisch erhöht wird), mit einer Bestellnummer, die um eins höher ist als die der Person, nach der Sie einfügen.